พล.อ.อ.จอม หรือที่สื่อมวลชนสายทหารเรียกว่า บิ๊กจอม เกิดเมื่อวันที่ 15 พฤษภาคม พ.ศ. 2501 เป็นบุตรของพลอากาศโท สุรยุทธ กับนางรัมภา รัศมี รุ่งสว่าง ด้านชีวิตครอบครัวสมรสกับพลอากาศตรีหญิง[11] กรนันท์ รุ่งสว่าง มีบุตร-ธิดา 3 คน

พล.อ.อ.จอม จบการศึกษาจากโรงเรียนเตรียมทหาร รุ่นที่ 16 (รุ่นเดียวกับ พลเอกเฉลิมชัย สิทธิสาท, พลเอกกัมปนาท รุดดิษฐ์ ผู้ช่วยผู้บัญชาการทหารบก พลเอกธวัช สุกปลั่ง ผู้ทรงคุณวุฒิพิเศษกองทัพบก และ พลโทภัทรพล รักษนคร อดีตผู้ทรงคุณวุฒิพิเศษกองทัพบก) จากนั้นจึงเดินทางไปศึกษาต่อที่สถาบันป้องกันประเทศแห่งชาติญี่ปุ่น (โบได) จนกระทั่งศึกษาจบจึงเดินทางกลับประเทศไทย